AI현지님의 블로그

Ax = 0의 해(Null space) 계산 및 RREF 정리1. Ax = 0의 해(Null space) 계산대상 행렬:임의의 3×4 행렬 A를 대상으로 진행한다.가우스 소거법 적용 (Elimination):행렬 A를 소거하여 echelon form인 U 행렬을 얻는다.이 과정에서 pivot을 찾아내고, 예를 들어 column 2가 column 1의 2배임을 확인한다.행 간에도 row3이 row1과 row2의 합으로 표현됨을 확인한다.Pivot과 Free 변수:소거 과정에서 선택된 pivot 변수의 개수가 행렬 A의 Rank를 나타낸다.pivot이 없는 나머지 열의 변수들을 자유 변수(free 변수)로 설정한다.예제에서는 4개의 변수 중 2개의 pivot이 존재하므로 2개의 free 변수가 있다.특수해 ..

1. 벡터 공간과 부분 공간의 기본조건벡터 공간 :벡터들의 집합으로, 임의의 두 벡터 v와 w를 더한 결과 v + w가 항상 같은 공간 내에 있어야한다.임의의 벡터 v에 대해, 어떤 상수 c를 곱합 cv 역시 그 공간 내에 있어야 한다.두 벡터에 상수를 곱해 더한 선형 결합 cv + dw 역시 항상 같은 공간에 속해야 한다.부분 공간(Subspace) :벡터 공간 내의 '작은 공간'으로, 덧셈과 스칼라 곱 연산에 대해 닫혀있어야 한다.반드시 원점을 포함해야 한다. (원점이 없는 집합은 선형 결합의 결과가 항상 그 집합에 머무르지 않으므로 부분 공간이 될 수 없다.)import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 벡터 플롯 함수def plot_vector(ax, ..

Chapter 1전치(Transpse)행렬의 전치는 행과 열을 뒤바꾸어 새로운 행렬 A^T를 만드는 연산이다.즉, 행렬을 대각선을 기준으로 뒤집는(Flip) 것으로, 이 과정에서 원소의 위치가 (i, j)에서 (j, i)로 이동합니다.대칭 행렬(Symmetric Matrix)전치한 결과가 원래의 행렬과 같은 행렬로, 대각선을 기준으로 좌우대칭이다.대칭 행렬은 고유값/고유벡터 계산, 통계(공분산), 머신러닝(SVM)등 다양한 분야에서 활용된다.임의의 행렬 A에 대해 A*A^T는 항상 대칭 행렬이 된다.# Chapter 1 실습코드import numpy as np# 임의의 행렬 A 생성A = np.random.rand(3,4)print("행렬 A:")print(A)# 행렬의 전치 A^T 생성A_T =A.Tp..

1. IntroductionLU 분해(Factorization)는 정사각 행렬 A 를 두 개의 행렬 L (Lower triangular matrix)과 U (Upper triangular matrix)의 곱으로 표현하는 기법이다. 즉,A = LU이 성립한다. 이를 활용하면 선형 방정식 풀이, 행렬식 계산, 역행렬 구하기 등의 연산을 효율적으로 수행할 수 있다.2. LU Factorization ProcessLU 분해 과정은 아래와 같다.행렬 A를 설정한다.import numpy as npA = np.array([[2, 3, 1], [4, 7, 3], [-2, 3, 4]])print("A =\n", A)행 연산을 통해 A를 삼각 행렬로 변환한다.첫 번째 열을 ..

행렬 곱셈 4가지 정리넘파이(numpy)를 활용하여 각 곱셈 방식 구현행 - 열 곱열 - 행 곱선형 조합벡터 내적행렬 곱셈 과정 시각화matplotlib으로 행렬 요소 강조import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsfrom matplotlib.animation import FuncAnimation# 행렬 곱셈 4가지 방법A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])# 방법 1: 행-열 곱C1 = A @ B# 방법 2: 열-행 곱 (각 열을 벡터로 보고 선형 결합)C2 = np.array([A[:, i] @ B[i, :] for i in range(A.shape[..

CHAPTER 1. 삼각행렬 (Triangular Matrix) 계산□ 삼각행렬 (Triangular Matrix)삼각행렬은 주 대각선(main diagonal)을 기준으로 위쪽 또는 아래쪽의 원소가 0인 행렬을 의미한다.하삼각행렬 (Lower Triangular Matrix): 주 대각선 위쪽의 모든 성분이 0인 행렬상삼각행렬 (Upper Triangular Matrix): 주 대각선 아래쪽의 모든 성분이 0인 행렬행렬 연산에서는 주어진 행렬을 상삼각행렬(U)로 변환하는 과정에서, 1st pivot부터 마지막 pivot까지의 값을 유지하면서 주 대각선 아래의 요소들을 0으로 만들어 가는 방식을 사용한다. 이러한 과정은 행렬의 가우스 소거법(Gaussian Elimination) 또는 LU 분해(LU D..

CHAPTER 2. 딥러닝에서의 행(row) 기반 연산 및 열(column) 기반 연산 차이점 및 중요성 행렬 연산에서 행(row) 기반 연산과 열(column) 기반 연산은 데이터의 구조를 다루는 방식에 따라 서로 다른 의미와 효율성을 갖는다. 두 연산 방식은 수학적 분석, 데이터 처리, 그리고 딥러닝과 같은 고차원 연산에서 중요한 역할을 한다. 1. 행(row) 기반 연산행 기반 연산은 행렬의 개별 행(row)을 독립적인 단위로 처리하는 연산 방식이다.즉, 행의 각 요소들을 특정 연산(ex. 합, 평균, 최대값 등)을 통해 집계하며, 결과는 행 벡터(row vector)로 표현된다. 1.1 활용 및 중요성 데이터 분석에서는 각 행이 개별 데이터 포인트를 의미하므로, 평균, 합, 표준편차 등의 통계량을..

CHAPTER 1. Matrix Row Picture 행의 관점으로 선형방정식 바라보기 Row picture으로 푸는 방법은 익히 잘알려져 있다. 행렬들을 행으로 구분한 뒤 선형 방정식들의 그래프를 각각 그리면, 서로 만나게 되는 교점이 생기게 되는게 그 교점이 선형방정식의 해가 되는 것이다. Column Picture 열의 관점으로 선형방정식 바라보기Column picture은 열의 관점에서 선형시스템을 보는 것이다. 선형 방정식들을 열 벡터들의 선형 결합(linear combination)으로 표현할 수 있다.그렇다면 여기서 의문점이 있다. 만약 x , y에 숫자를 대입하지 않았을 경우 즉, 모든 조합의 결과는 어떻게 되는가?==> 평면 전체가 벡터로 채워질 것이다. In deap learningro..